Habe ein mathematisches Problem (Kreise und Tangenten)

Dieses Thema im Forum "Small Talk" wurde erstellt von Heiko1985, 1. Februar 2006.

  1. Heiko1985

    Heiko1985 New Member

    Hallo zusammen,

    ich brauche eure Hilfe bei einer mathematischen Aufgabe:

    Ich habe ein 2D-Koordinatensysten (mit den Achsen x und y). In diesem befinden sich zwei Kreise.
    K1 mit dem Mittelpunkt M1 (x1|y1) und dem Radius r1 und
    K2 mit dem Mittelpunkt M2 (x2|y2) und dem Radius r2.

    Ich suche die Geradengleichungen der beiden Geraden, die sowohl an K1 als auch an K2 tangential anliegen.

    Und das überfordert mich, da ich keinen der Punkte, in denen die Tangenten die Kreise berühren, kenne.
    Ich sehe zwar schon einen Weg, mit dem ich nach recht langer Rechenzeit wahrscheinlich auf die Lösung komme. Aber dafür benötige ich die Hilfe meiner Formelsammlung, die genau an der entscheidenden Stelle nicht eindeutig ist. :(


    Bitte helft mir! Danke schon mal!

    Gruß, Heiko1985


    P.S.: Ich brauche das nicht für die Schule (aus der ich schon seit Jahren raus bin), sondern für die Arbeit. D.h. ich kann auch nicht meinen Lehrer fragen...
     
  2. maximilian

    maximilian Active Member

    Hallo!

    Gar nicht so einfach, Dein Problem... so von hier auf jetzt kann ich auch keine Lösung anbieten (vor 20 Jahren hätte ichs vielleicht noch gekonnt).
    Dieser hier kann es zwar: http://www.ingentaconnect.com/content/tandf/tmes/2002/00000033/00000004/art00016
    will aber 28 Dollar für seinen Text haben :confused:

    Und hier habe ich noch eine Lösung in MS Visual Basic gefunden, welche die Tangenten offebar iterativ ermittelt (wenn ich den Code auf die Schnelle richtig interpretiere, siehe Unterprogramm CalcTangents) http://webpages.charter.net/gene.perkins/Tan2Circles.html

    Ansonsten findet Google noch ein paar Berechnungsverfahren, die mit Parameterdarstellungen der Kreise (oder auch allgemein Kegelschnitten) und Linien arbeiten.

    Grüße, Maximilian
     
  3. Heiko1985

    Heiko1985 New Member

    Danke für deine Antwort!

    Mittlerweile habe ich das Problem doch alleine lösen können. Hat gestern Abend zwei Stunden gedauert (mit TV im Hintergrund :D).
    Aber dafür bin ich jetzt richtig stolz auf mich :)
     
  4. macianer15

    macianer15 New Member

    Und wie heisst die Lösung?
    Die x- und y-Achse ist doch bereits gemeinsam tangetial zu K1 und K2, oder täusche ich mich? --> g1: x=0 / g2: y=0
     
  5. maximilian

    maximilian Active Member

    Hallo!

    1. Das würde mich doch jetzt auch interessieren.

    2. Ja, Du täuschst Dich, siehe hier (eine interaktive! Darstellung der Aufgabe):

    http://www.math.umbc.edu/~rouben/Geometry/common_tangents.html

    Grüße, Maximilian
     
  6. Heiko1985

    Heiko1985 New Member

    Ich habe das Problem folgendermaßen gelöst:

    Zuerst einem muss ich hier erwähnen, dass ich nur eine der vier Tangenten brauchte.
    In meinem Fall lagen die beiden Kreise (K1 und K2) nebeneinander, d.h. der y-Wert der Mittelpunkte war gleich (zumindest in etwa). Außerdem hatten die Kreise unterschiedliche Durchmesser.

    So, und nun zu meiner Lösung:
    1. Die Gerade, die die Mittelpunkte beiden Kreise verbindet, heißt „g“. g kann berechnet werden, da die Mittelpunkte bekannt sind.
    2. Die gesuchte Tangente heißt „j“. In den Berührpunkt mit den Kreisen steht j orthogonal (rechtwinklig) auf dem Radius bzw. den Radien.
    3. g und h schneiden sich im Punkt P3 und bilden dort den Winkel alpha. Da j noch unbekannt ist, können P3 und alpha erst mal nicht berechnet werden.
    4. Aus den Geraden g und j und den beiden Radien, die orthogonal auf j stehen entstehen zwei rechtwinklige Dreiecke, welche „ähnlich“ sind. (ähnlich = die Innenwinkel sind gleich)
    5. Schaut euch jetzt bitte meine tolle Skizze an. ^^
    6. Die Strecke zwischen den Mittelpunkten heißt „a“.
    7. Über den Strahlensatz kann ich die Länge „b“ bestimmen: b / r2 = (a+b) / r1
    8. Jetzt schlage ich einen Kreis K3 um den Mittelpunkt des Kreises K2. K3 hat den Radius r3 = b.
    9. K3 schneidet g in zwei Punkten. Einer davon ist P3. Ich erhalte eine quadratische Gleichung für die x-Werte dieser Punkte. Diese Gleichung hat zwei Lösungen. Mich interessiert nur der größere x-Wert, welcher zu P3 gehört. Durch Einsetzen in die Geradengleichung von g erhalte ich auch den y-Wert von P3.
    10. Ich habe die Koordinaten von P3, welcher auf j liegt!!
    11. Aus dem Dreieck, welches r2, b und alpha bilden, kann ich alpha berechnen: sin (alpha) = r2 / b.
    12. Da der Steigungswinkel von j größer ist als der von g, muss ich jetzt nur noch den Steigungswinkel und g berechnen (g ist ja bekannt) und dann alpha addieren. Damit erhalte ich den Steigungswinkel von j.
    13. Jetzt habe ich einen Punkt (P3) und den Steigungswinkel der Geraden j. Damit kann ich j berechnen.
    14. Yeah, Baby! Ich habs geschafft! :)


    Hm, hat richtig Spaß gemacht, diese Aufgabe. Und ich konnte meine Mathekenntnisse auffrischen!
    Viele Leute verstehen bestimmt nicht, wie ich mich in meiner Freizeit mit so was beschäftigen kann... ^^
     

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